読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

Crypt4nalisM

最高が待ってる

achiralな結び目一覧(白紙)

 結び目のために導入した数学を整理するために,9つ以下の交差*1を有する結び目であってachiralなものを一覧にまとめることにした.

 整理とは言ってもJones多項式計算するだけなので,これを読んだところであまり足しにはならないと思う.Jones多項式なりAlexander多項式なりの計算問題として利用されれば嬉しい.ちなみに,試験的にequation環境を導入してみたが,ちょっとバランスが悪い感が否めない.

 なお,knot, linkの定義とその自明な例については適当な文献をあたられたい.

Fact 1. knot あるいは linkが isotopic iff Reidemeister変形を有限回行って射影図が移り合う.

Fact 2. 向き付けられた linkが isotopic iff 向き付けられた (\( 2^4-2\)通りの\)Reidemeister変形(R1,R2,R3)で移り合う.

Def 3. \(K_1\),\( K_2\)をlinkの二つの成分(輪っか)とする.\( lk(K_1,K_2)\)を

\( lk(K_1,K_2)=\frac{1}{2}\{K_1,K_2の正の交差数-負の交差数\}\)


として,これを絡み数とよぶ.

 このwell-definedたることはR1,2,3より直ちに確認される.

Def 4. \(K\)を向き付けられたlinkとする.\( V_K(t)\in\mathbb{Z}[t^{1/2},t^{-1/2}]\)についてskein relation

\( tV_{K_+}(t)-t^{-1}V_{K_-}=-(t^{1/2}-t^{-1/2})V_{K_0}(t)\)


を満たすもので,自明なlink \( O\)について\( V_O(t)=1\)とnormalizeされたものをJones多項式と呼ぶ.ただし,\( K_+\), \( K_-\), \( K_0\)は,向き付けられたlinkの適当な交差一つについて以下の相関があるものをそれぞれ対応させたものとする(図a).

Remark. \(K\)がknotの場合は\( V_K(t)\)は向きによらない.

f:id:volupt4tem:20161203072444p:plain

 特に\( l\)成分の自明なlinkについては\( V_O(t)=(-(t^{1/2}+t^{-1/2}))^{l-1}\)である.

Prop 5.\( K\)に鏡像な\( K^*\)に対して,\( V_K(t^{-1})=V_{K^*}(t)\).

 

(少しずつ更新していくと思います)

*1:Czes Kosniowski:A first corse in Algebraic Topology, Cambridge University Press, 1980.